一文说清傅里叶变换
科技点亮未来 2018-02-01 09:20:50
人们认识事物，首先从给他分类，打标签，下定义开始。给每一样东西起个名字，从而我们认识的这个世界对于我们而言才有了意义。在我们的思维里面，当我们想起一个东西，想到名字的同时，其实你的潜意识里已经随之浮现了该事物的某些特征。这是必然的，光想起名字是没有意义的。
你有个好朋友叫小明，那么当你想起小明来的时候，脑子里肯定同时想到：他14岁了，住在我家隔壁，我认识他6年了，甚至是什么时候一起干过的一件事。
再举个例子： 2010年，你考上了北京大学，坐火车到了北京，看到了天安门城楼子，他是深红色的，那么高大。
第三个例子：我国高铁目前正常运行时速V=350公里/时，如果我从北京到上海，火车跑了t=4个小时，那么距离D=V*t=1400公里。
可能你很奇怪，这三个例子有什么共同的地方吗？ 请注意本文开头的话，我们描述所认识的事物，除了名字，总要加上几个特征在认知里面才有意义。
这三个例子，一个描述一个人，一个是描述一件事，一个是描述一个过程，本来从字面看没什么共同之处。可是细心的人会发现，在描述这些对象的过程中，我们用的基本元素都是一样的。
在三个例子中，我们都用到了时间，空间，两个要素。从生物的本能来讲，我们都能很自然的感知时间的流逝和空间的移动。这是自古以来我们就自然而然的用这两个基本要素来给我们认识的所有的事物打标签。就是说，我们提起一件事，我们首先要起个名字，然后马上会问，这是在什么时间发生的，什么地点发生的。如果一件事物仅仅知道名字，对我们的记忆是没有意义的。
比如说我告诉你一个人，叫成龙，然后完了。这对你而言没有任何意义，你得知道他那一年拍了什么电影，他在那里，等等这些基本信息。这个名字才有了意义。
那么我们为什么总是用时间和空间来区分事物呢？也就是说为什么时间和空间是描述事物或者人物的基本参数呢？这是因为时间和空间中的点是唯一确定的点，它的自然属性保证了这一点。并且从数学来说，我们可以严格区分任意两个时间点。一件事情发生在那一个时刻，是唯一确定的，同时地点也是确定了，没有任何含糊。
这就自然而然地引出了基本的维度的概念。时间维度，空间维度。为了描述空间，又把空间分成了三个维度，在笛卡尔坐标系里，一般称为 x,y,z. 这就是我们常说的三维空间加一维的时间。
有了这些确定的基本参数，我们可以把任何事物都用他们来描述，同时，如果是复杂的事物，我们还可以用基于基本参数的函数来描述。比如说第三个例子中，火车的位置随时间变化，就是一个最简单的一次函数。D=V*t.
后来随着数学的发展，目标项随着x,y,z,t变化越来越复杂，这就反人性了，因为我们都喜欢简单的规律，好理解好记嘛。所以聪明人又发展出了圆柱坐标和极坐标描述的函数，当然这些可以和直角坐标系互相转换的了。因为这些不是本文重点，所以不在此列出，读者可以自行百度下。
后来，有些要求的目标值相对于xyzt没有任何规律可言，人们就迫切的想知道是不是还有其它最基本的和xyzt不重叠的参数，来描述这些东西呢？这个参数要符合两个特点：
第一，他和目前已知的基本参数之间是独立的，不能由这些基本参数导出来。比如说，你从空间坐标导不出时间。
第二，他自己也能唯一的确定一个事物的特性。比如说，每两个时间点都是独立的。
两个变量或者说两个函数互相独立，准确的定义如下：F(x,Y)=F(x)F(Y)，这是从概率学上定义的，意思就是x,y没任何关系。x,y在任何情况下不收对方变化的影响。
要是能找到这么一个认识世界规律的新的维度，那么无疑是人类认识自然的一大进步啊。
幸运的是，让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶在1822年，出版了专著《热的解析理论》，在其中提出了一个新的维度，那就是从频域去区别各个事物，从而有了一个新的维度，以前在时间和空间上貌似随机变化的关系，在频域里一分析，变量之间的关系就清楚了。正好，频率域符合以上两个特征，和已知的空间时间参数互相独立，而且自己两个取点之间也是相互独立的。于是，所有的函数有了频域的分析。
求出任意一个函数在频域的系数，即为傅立叶变换，也就是说傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。细想之下，这其实是一个很取巧的过程。
傅立叶首先发现，函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
而这些三角函数之间，是互相独立的，甚至退一步，不要求那么严格，正交就足够了。正交的定义是：
其实别看上面的函数那么复杂，描述的中心思想就一个，如果俩函数相乘，在一个区间内积分，最后等于零，那么就是正交的。那么如果自己个自己相乘，再积分则不等于零，如果恰好有这么一组数，那么就构成了一个新的维度了。而傅立叶发现的一组三角函数的集合，正好代表了频域的基本参数，于是傅立叶变换就出来了。
傅里叶级数适用于周期信号中，下面给出其表达式：
在这里，三角函数就是代表了频率连续变换的一组独立变量，所谓的频域是用e^-j2*pi*wt来具体表现的。
傅立叶变换公式
在f(t)中本来就是一些列的三角级数累加而成，各个频率分量的细数我们不知道，但我们可以利用三角函数的正交性来求。比如我们求10Hz的频率分量的系数，我们用
这个因子去和每一个三角函数相乘再积分，这时候，除去10Hz,其他的频率分量乘完了积分后都变成零了（这里w0是从零到无穷大练习变换的），当w变到10的时候，积分等于10Hz的系数，就这么简单。其实就是你要求的系数本来就在那里了，只是用
这个系数作为卡尺，卡出来罢了。这让我想起了陆游的两句诗：文章本天成 ，妙手偶得之。
具体求导过程如下：
如何求得ak呢? 同样是利用正交属性去做内积, 我们知道, 对于任何一个给定k
, 有
另外，为了简化，周期函数只在一个周期内积分就可以了。
这种正交的思想后来在很多地方得到了应用。像移动通信的扩频码，就是一个正交的伪随机码，wash函数集， 最新的5G采用了 OFDMA，也是基于子载波之间的正交性，将子载波调制的内容提取出来，实际上OFDM信号的实现就是快速傅立叶变换的反变换来实现的。
本文总结如下：
傅立叶发现了在频率这个维度上去描述事物，每件事情发生的频率表现出了唯一的特性。
所以能给出一个事情的在频域的分布，看下图。
横轴为频率，纵轴为幅度
最简单的例子就是，小镇上有一百人，其中有10人每周吃3次肯德基，90人每周吃6次肯德基，这么，在频率为3的幅度为10， 频率为6的幅度为90。 这下小镇中的人们生活就看到了规律，不管他早中晚什么时候去吃，频率就是这样！
