当今最高等的数学是什么之二？

作者：数学严老师 教育问答达人

数学都挺难的，就简单说一说数学的分支

数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化（即算术、代数、几何及分析）等数学上广泛的子领域相关连着。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论（基础）、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。

数量

数量的研究起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质被研究于数论中，此一理论包括了如费马最后定理之著名的结果。数论还包括两个被广为探讨的未解问题：孪生质数猜想及哥德巴赫猜想。

当数系更进一步发展时，整数被承认为有理数的子集，而有理数则包含于实数中，连续的数量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。自然数的考虑亦可导致超限数，它公式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为其大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：阿列夫数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。

结构

许多如数及函数的集合等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、体及其他本身即为此物件的抽象系统中。此为抽象代数的领域。在此有一个很重要的概念，即向量，且广义化至向量空间，并研究于线性代数中。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。

空间

空间的研究源自于几何－尤其是欧几里得几何。三角学则结合了空间及数，且包含有著名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几里得几何（其在广义相对论中扮演着核心的角色）及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含有存在久远的庞加莱猜想及有争议的四色定理，其只被电脑证明，而从来没有由人力来验证过。（2002年格里戈里·佩雷尔曼宣布证明了庞加莱猜想。）

变化

了解及描述变化在自然科学里是一普遍的议题，而微积分更为研究变化的有利工具。函数誔生于此，做为描述一变化的量的核心概念。对于实数及实变函数的严格研究为实分析，而复分析则为复数的等价领域。黎曼猜想－数学最基本的未决问题之一－即以复分析来描述。泛函分析注重在函数的(一般为无限维)空间上。泛函分析的众多应用之一为量子力学。许多的问题很自然地会导出数量与其变化率之间的关系，而这则被微分方程所研究著。在自然界中的许多现象可以被动力系统所描述；混沌理论明确化许多表现出不可预测的系统之行为，而且为决定性系统的行为。

基础与哲学

为了搞清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。

数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果－总存在一不能被证明的真实定理。现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关连性。

离散数学

离散数学是指对理论计算机科学最有用处的数学领域之总称，包含有可计算理论、计算复杂性理论及信息论。可计算理论检查电脑的不同理论模型之极限，包含现知最有力的模型－图灵机。复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度；有些问题即使理论是可以以电脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的，尽管电脑硬件的快速进步。最后，信息论专注在可以储存在特定媒体内的资料总量，且因此有压缩及熵等概念。

做为一相对较新的领域，离散数学有许多基本的未解问题。其中最有名的为P/NP问题－千禧年大奖难题之一。一般相信此问题的解答是否定的。

应用数学

应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。应用数学中的一重要领域为统计学，它利用机率论为其工具并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部份的实验、测量及观察研究需要统计对其资料的分析。(许多的统计学家并不认为他们是数学家，而比较觉得是合作团体的一份子。)数值分析研究如何有效地用电脑的方法解决大量因太大而不可能以人类的演算能力算出的数学问题；它亦包含了对计算中舍入误差或其他来源的误差之研究。

最后，数学最后学的就是实际应用了，与经济，计算机，生物等等学科联系