微积分的本质是什么之二？

作者：同构数学ABC

微积分的本质这个问题，我在年轻的时候就做过长时间的思考。因为我想在我自己的研究中把它的本质思想融入进去。除其形式外主要考虑的是其与物理世界的本质联系。想通这个本质，就能理解为什么微积分在物理上有如此众多的应用。

先从定积分说起。它在形式上是乘积的累加然后取极限。这个乘积是函数值乘以一个区间的微小分割，有何物理意义？ 首先常数的乘法在物理上多可以用来表示一个强度乘以一个作用范围(广度)得出一个作用结果值。例如一个恒定力作用于一段距离，乘积为功。此时的强度是均匀作用于其广度上的，因此计算用常数的乘法很简单。但是考虑如果在一个可无限细分的广度范围内，强度的作用是处处不一样的，那么其作用结果怎样计算？此时人们想到先求其近似值的一般形式: 也就是对此广度作若干分割，分割比较细时，每个分割内取一个强度值作为平均代表，乘以这个小的广度值，得到一部分的作用结果近似值。然后再累加所有结果值的近似作用量得到近似的总量。最后利用极限的方法把近似和逼近到所谓的精确值。这个结果就是定积分。那么定积分的物理本质意义就是可变强度在其作用广度上的作用效果总值的极限精确计算。

微分和导数的意义可以反过来理解。考虑一个广度范围上一个因可变强度累计作用而得的效果值，因广度累计的不同，作用累计的值可以是非正比例的。那么求导数的过程和上面的相反，先细分一个小广度区域，用两个不同的累计值相减，得出一个小范围的作用值，除以小范围的广度量，得出近似的平均强度值，再让该小广度范围逼近0，取极限就得到该“点”上的真实强度值。所以导数的物理本质是由累计效应求出局部强度。速度是距离的强度，压强是压力的强度。都是例子。可以有作用量求导得出。而微分是导数再乘以小的广度细分值(广度的微分)，得出微化的局部近似作用总量。

这样就有助于那些已经学了微积分的人更好理解了。

然而笔者进一步提出一个问题？作用值都是强度与广度的代数乘积吗？局部的作用效果的合成都是用加法计算吗？物理学得好的同学可以直接回答不！例如电阻的并联就不是加法。

因此笔者基于同样的思想，尝试把代数四则运算和微积分都做进一步上升，得到一个新的数学系统。我把它成为《同构数学分析》。

有兴趣的朋友可百度搜索《论广泛四则运算和同构微积分》《论第二类同构微积分》《论广泛平均值和双变量同构凸函数》。

在此系统中，普通的微积分只是体系的一个特例，也就是强度和广度各种作用的运算是代数加减乘除的情形。在我的体系语言中称为系统的相关同构映射为y=x。选取不同的一维或n维或其组合的同构映射例如对数映射，得到不同的同构微积分。系统中牛顿莱布尼兹公式有两种上升形式，要用到新创的符号来表示。两者的特例之一都可以是牛莱公式。

另外上面说到了平均，这在新系统中是重要的概念。提出了函数的双变量同构平均值，又细分为5类函数的广泛平均值。这样就较好的统一了数学中常见的多数平均值，并给出部分比较法则定理。sinx在0到pi之间的的几何平均值就是一个典型的特例，其值为1/2。这是多数人都不知道的极美而又极简的结论！这个结果是可用数学软件验证的！也可以用系统的定理法则来比较它是小于同区间的算术平均值的（2/pi）。

新的系统里还有很多新的有趣的概念和方法，有兴趣的朋友可以下载论文来研究。希望可以成为初高等数学爱好者的一个新的研究平台或方向。有兴趣请关注我。tim。