史上最容易想歪的数学定理，它算老几？
超级数学建模 2018-04-17 23:00:00
真没想到
高数比我还污
如果说高数中让你一辈子忘不了的定理是夹逼定理，那么最污的定理就肯定不是它了，它勉强能算上是老三。那么老大和老二到底是谁呢？
今天超模君就带大家来见识一下“老二”，至于老大嘛，大Boss总是最后登场的。那么，现在请以热烈的掌声欢迎我们的“老二”——拉格朗日中值定理（也叫拉氏定理）！
什么！拉格朗是谁？中值又是谁？
如果你有上述奇怪想法，那就不得了了，以后绝对能够干大事，不信你看：
- 数学分析下册：拉格朗日乘数法
- 抽象代数：拉格朗日定理
- 数论：拉格朗日四平方和定理
- 数值分析：拉格朗日插值公式
- 力学：拉格朗日方程
- ……
好了，“老二”被黑得好惨，我们暂时放过他，进入正题，开始介绍一下这个定理。相信大家对拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）并不陌生，拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科领域中都有划时代意义的贡献，拿破仑称他为“数学科学高耸的金字塔”，是18世纪欧洲最伟大的数学家。
拉格朗日的沉默
但是拉格朗日中值定理是怎么发现的呢？课本上似乎并没有提及。现在的高数教材，一本比一本薄，内容越改越少，删去了很多趣味性的故事和帮助理解的图片，只因这些不出现在考试中。有一段话说得很好：
美国人写教材：你看数学多简单，我们聊着聊着就学会了。中国人写教材：定义xxx，可以推导出yyy，此外zzz是更加弱的结论，本书不予证明。俄罗斯人写教材：就你这智商还想学数学？赶紧转文科吧！
古希腊时代，数学家阿基米德就利用了一个结论（拉格朗日中值定理的特殊情况）：过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底，巧妙地计算出抛物弓形的面积。
后来，意大利卡瓦列里在著作《不可分量几何学》中给出一个有趣的引理：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。事实上，这不是别的，正好是拉格朗日中值定理的几何意义，它还被称为卡瓦列里定理。
m为切线斜率
跑得太快了，只好手动拖移
受前人的启发，拉格朗日在《解析函数论》一书中提出拉格朗日中值定理的代数版本，但是证明并不严格。最终由大数学家柯西给出严格证明并推广成为柯西中值定理，法国数学家博（O.Bonnet）也给出了现代形式的拉格朗日中值定理。
知道了“老二”的来源，我们可以来认识一下他的内在了。简单而言，拉格朗日中值定理就是下图：
注意桥上标语
这座桥大概是想告诉我们，如果一辆车从桥头行驶到桥尾，用了时间T，那么在时间T内一定有某一时刻，它的速度正好等于平均速度。
下面给出拉格朗日中值定理的完整形式：
在图像上表示：
用通俗的语言解释就是，在你的人生轨迹中，如果它是连续不间断的，并且可到终点，那么肯定在人生某个时刻，有一个人，Ta认定了，与你的人生位移同方向，陪你走完这一生。（
单身狗的福利定理）
这一定理有着广泛的应用，第一是用来证明等式、不等式与恒等式。第二是证明有关中值问题的结论，第三是研究导数和函数的性质，第四是证明方程根的存在性和利用中值定理求极限。这些应用对于数学研究有重要的作用。
我们来举一个简单的栗子看看是怎么千呼万唤“老二”出来解题的。
方法一：由图可知，显然易得a>1。（作死法）
方法二：
其实，这是一道高考题，拉格朗日中值定理可是有一段“秒杀压轴大题”的传说
拉格朗日中值定理让函数不再“囧”！用拉格朗日中值定理破解高考数学函数与导数压轴题！洛必达法则，真能“下嫁”导数压轴题！（洛必达也出来打酱油了）四招高等数学，秒杀高考数学压轴题！
当然，为了谨慎起见，模拟题中用来玩一下是可以的，高考中就不要乱用了，因为可能会被扣分。
最后，如果我们把三大中值定理（
罗尔、拉格朗日、柯西）汇合在一起，便成为一首浪漫的三角爱情诗。
我还是很喜欢你，就像拉格朗日罗尔街旁守望柯西的忧伤，若思想有界，爱已被迫收敛，感情在定义域内连续，我拿生命的定积分，去丈量我们感情的微积分，换来青春的不定积分。
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