趣题：圆内接八边形的面积

一个圆内接八边形，各边长度依次为 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 。求这个八边形的面积。

假设圆的半径为 R 。整个八边形是由 4 个三边分别为 3, R, R 的三角形和 4 个三边分别为 2, R, R 的三角形组成。如果我们重新摆放这 8 个三角形，让这两种三角形交替出现的话，整个图形的面积是不会变的。然而，新的八边形相当于是一个边长为 3 + 2√2 的正方形去掉了 4 个直角边为 √2 的等腰直角三角形以后所得的图形。它的面积是 (3 + 2√2)2 – 4 = 13 + 12√2 。

这是 1978 年 Putnam 数学竞赛的 B1 题。我是在 Proofs Without Words II – More Exercises in Visual Thinking 一书里看到的题目及其解法。